Déterminant symbolique et formule de Cramer


Maxime Zuber¹, Gymnase français de Bienne

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I. Introduction

Dans un espace vectoriel de dimension $n-1$, une famille $V=\left\{\mbox{\boldmath $v_{1}$}, \mbox{\boldmath $v_{2}$},\ldots , \mbox{\boldmath $v_{n}$} \right\}$ de $n$ vecteurs, est forcément liée; c'est-à-dire qu'il est possible d'écrire le vecteur nul $\vec 0$ sous la forme d'une combinaison linéaire

$$\vec 0=\alpha_{1}\cdot$$$v_{1}$$$+\alpha_{2}\cdot$$$v_{2}$$$+\cdots + \alpha_{n}\cdot$$$v_{n}$$$,$$

autre que triviale. Dans le présent article, nous allons montrer comment déterminer les coefficients $\alpha_{i}$ et découvrir le sens géométrique de ces derniers.

Dimension 1

Si $\vec a=a\cdot \vec e$ et $\vec b=b\cdot \vec e$ sont deux vecteurs non nuls d'un espace vectoriel $E$ de base $\left\{\vec e\right\}$, alors la combinaison linéaire non triviale $\vec 0=b\cdot \vec a-a\cdot \vec b$, donne le vecteur nul. Notons que cette dernière peut s'écrire sous la forme du déterminant symbolique

$$\left\vert \begin{array}{cc} \vec a&\vec b\\ a&b \end{array}\right\vert=\vec 0.$$

Dimension 2

Si, dans une base $\left\{\mbox{\boldmath$e_{1}$},\mbox{\boldmath$e_{2}$}\right\}$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension $2$, trois vecteurs non nuls ont pour composantes $\vec a={a_{1}\choose a_{2}}$, $\vec b={b_{1}\choose b_{2}}$ et $\vec c={c_{1}\choose c_{2}}$, alors le même déterminant symbolique

$$\vec x=\left\vert \begin{array}{ccc} \vec a&\vec b&\vec c\\ ... ...{1}$}+x_{2}\cdot \mbox{\boldmath$e_{2}$}=\vec 0, \eqno{(\star)}$$

fournit une combinaison linéaire non triviale exprimant le vecteur nul $\vec 0$. En effet, la composante $x_{i}$ ($i=1$, $2$) du vecteur $\vec x$, qui est donnée par l'évaluation du déterminant

$$x_{i}=\left\vert \begin{array}{ccc} a_{i}&b_{i}&c_{i}\\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2} \end{array}\right\vert,$$

est nulle, car deux lignes de ce dernier sont égales ! En développant ce déterminant selon la première ligne, la relation $(\star)$ se traduit sous la forme de la combinaison linéaire

$$\underbrace{\det(\vec b,\vec c)}_{\alpha}\cdot \vec a-\underbrac... ...eta}\cdot \vec b+\underbrace{\det(\vec a,\vec b)}_{\gamma}\cdot \vec c=\vec 0,$$

dans laquelle le coefficient d'un vecteur est donné, au signe près, par l'aire du parallélogramme défini par les deux autres vecteurs.

Dimension 3

Le même raisonnement en dimension $3$ conduit à la relation suivante (qu'on tire ordinairement de ladite formule de Gibbs)

$$(\vec b,\vec c,\vec d)\cdot \vec a-(\vec a,\vec c,\vec d)\cdot \v... ...+(\vec a,\vec b,\vec d)\cdot \vec c-(\vec a,\vec b,\vec c)\cdot \vec d=\vec 0.$$

Ici également, le coefficient d'un vecteur est donné, au signe près, par le volume du parallélépipède construit sur les trois autres vecteurs. Ce dernier est défini par le produit mixte ou le déterminant des trois vecteurs.

II. Résultat général

Avec la même démonstration que celle présentée en dimension $2$, on peut établir le résultat général suivant.

Théorème - Soit, dans un espace vectoriel $E$ de dimension $n-1$, une famille de $n$ vecteurs $v_{1}$, $v_{2}$, ..., $v_{n}$, dont les composantes dans une base quelconque sont contenues dans les matrices colonnes $(\nu_{1})$, $(\nu_{2})$, ..., $(\nu_{n})$. On a alors la relation formelle

$$\left\vert \begin{array}{cccc} \mbox{\boldmath$v_{1}$}&\mbox... ...{1})&(\nu_{2})&\ldots&(\nu_{n}) \end{array}\right\vert=\vec 0.$$

Cette dernière se traduit sous la forme de la combinaison linéaire

$$\alpha_{1}\cdot$$$v_{1}$$$+\alpha_{2}\cdot$$$v_{2}$$$+\cdots + \alpha_{n}\cdot$$$v_{n}$$$=\vec 0,$$

liant les $n$ vecteurs linéairement dépendants et dans laquelle le coefficient $\alpha_{i}$ de chaque vecteur $v_{i}$ est donné, au signe près, par le déterminant des $n-1$ autres vecteurs

$$\alpha_{i}=(-1)^{i+1}\det\left(\mbox{\boldmath$v_{j}$},j=1,\ldots, n, j\neq i\right).$$

III. Relation avec la règle de Cramer

Résoudre le système linéaire d'ordre $n$

$$(S)\;:\;\left\{ \begin{array}{lcl} v_{11}x_{1}+v_{12}x_{2}+\... ...1}+v_{n2}x_{2}+\cdots +v_{nn}x_{n}&=&b_{n}, \end{array}\right.$$

qui s'écrit

$$x_{1}\cdot$$   $v_{1}$$$+x_{2}\cdot$$   $v_{2}$$$+\cdots +x_{n}\cdot$$   $v_{n}$$$=\vec b,$$

avec $v_{i}$$= \left(\begin{array}{c} v_{1i}\\ v_{2i}\\ \vdots\\ v_{ni} \end{array}\right)$ et $\vec b= \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right)$, revient précisément à trouver une combinaison linéaire non triviale

$$x_{1}\cdot$$   $v_{1}$$$+x_{2}\cdot$$   $v_{2}$$$+\cdots +x_{n}\cdot$$   $v_{n}$$$-\vec b=\vec 0.$$

Or, en vertu de ce qui précède, on sait qu'il existe une combinaison de la forme

$$\alpha_{1}\cdot$$   $v_{1}$$$+\alpha_{2}\cdot$$   $v_{2}$$$+\cdots +\alpha_{n+1}\cdot$$   $v_{n+1}$$$=\vec 0,$$

avec $v_{n+1}$$=\vec b$ et $\alpha_{i}=(-1)^{i+1} \det\left(\mbox{\boldmath$v_{j}$}, j=1,\ldots, n+1, j\neq i\right)$.

Deux cas peuvent alors se présenter. Si le déterminant du système est nul, c'est-à-dire si

$$\alpha_{n+1}=(-1)^{n+1}\det\left(\mbox{\boldmath$v_{j}$}, j=1,\ldots, n\right)=0$$,

alors le système est singulier. En revanche, si ce déterminant est non nul, alors on a

$$-\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{n+1}}\cdot$$   $v_{1}$$$-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{n+1}}\cdot$$   $v_{2}$$$-\cdots -\frac{\alpha_{n}}{\alpha_{n+1}}\cdot$$   $v_{n}$$$-\vec b=\vec 0.$$

Il s'ensuit que l'inconnue $x_{k}$ est donnée par

Cette dernière relation n'est autre que la célèbre formule de Cramer.

... Zuber¹

Sur une idée originale de M. Alain Robert, professeur à l'Université de Neuchâtel.